√２、√３は無理数であるとことを使って、√２＋√３も無理数であることを

前のお二方が書いておられるように、

√2 + √3 が有理数だと仮定すると
√6 = ((√2 + √3)~2 - 5)/2 も有理数
ということになってしまうことから、
背理法で示すことができます。

では、√6 が無理数であることは
どうやれば示せるかというと…
「√2, √3 が無理数であることを使って」
示すことは、できません。

√2 や √3 が無理数であることを示すのと
同様の手法で証明することになるでしょう。
↓
√6 が有理数だとすれば、
互いに素な自然数 p, q によって
√6 = p/q と表すことができる。
式を変形して、6qq = pp。
左辺が 2 で割りきれることから、
右辺も 2 で割りきれなくてはならず、
p は 2 で割りきれる。
よって、右辺が 4 で割りきれることから、
左辺も 4 で割りきれなくてはならず、
q も 2 で割りきれる。
これは、p, q が互いに素であることに矛盾する。
したがって、背理法により、√6 は無理数。

√２＋√３が有理数

↓
（√２＋√３）＾２＝５＋２√６は有理数
↓
√６は有理数


√２＋√３が有理数
↓
（√２＋√３）√２＝２＋√６は無理数
↓
√６は無理数

ここの

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/cond004 …
背理方法の例題の例２はダメですか？